Ένας 35χρονος Έλληνας έλυσε μαθηματικό γρίφο 78 ετών

ΕΠΙΣΤΗΜΗ/ΠΡΟΣΩΠΑ

Posted by Youmagazine Staff

Α΄ Μέρος

Ένας ιδιοφυής Έλληνας μαθηματικός, ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος, έλυσε τον μαθηματικό γρίφο των Duffin-Schaeffer που διατυπώθηκε το 1941 και έως σήμερα παρέμενε άλυτος.

Αριστερά, ο βραβευμένος Βρετανός μαθηματικός Τζέιμς Μέιναρντ, 32 ετών, και δεξιά ο Έλληνας μαθηματικός Δημήτρης Κουκουλόπουλος, 35 ετών, αναπληρωτής καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ. Image: Supplied

ν

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ υπάρχουν θεωρήματα, εικασίες και υποθέσεις, που παιδεύουν τους επιστήμονες περισσότερο από 100 χρόνια. Μαθηματικοί έχουν αφιερώσει ολόκληρη την ζωή τους για την απόδειξη μιας Εικασίας ή ενός Θεωρήματος, ενώ επιστημονικές κυψέλες που έχουν αναπτυχθεί σε πανεπιστημιακά τμήματα και ασχολούνται με τη θεωρία των αριθμών, προσπαθούν να λύσουν ορισμένες Εικασίες ή Θεωρήματα που στο πέρασμα του χρόνου έχουν πάρει τα χαρακτηριστικά θρύλων.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα η “Εικασία του Πουανκαρέ” που μετά από 100 χρόνια λύθηκε από τον Ρώσο μαθηματικό Γρεγκόρι Πέρελμαν.

Σήμερα υπάρχουν τουλάχιστον δέκα πολύ διάσημα προβλήματα Εικασίες ή Θεωρήματα που παραμένουν άλυτα με την πρωτοπορία της διεθνούς μαθηματικής κοινότητας να εστιάζει στη λύση τους.

Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος από την Κοζάνη, μόλις 35 ετών, είναι αναπληρωτής καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ και κατάφερε μαζί με τον συνεργάτη του Τζέιμς Μέιναρντ (James Maynard) από την Οξφόρδη, να αποδείξει ή να “λύσει” όπως λέγεται στη γλώσσα των μαθηματικών, την Εικασία των “RJ Duffin και AC Schaeffer” που ταλάνιζε τους μαθηματικούς της Αναλυτικής Θεωρίας των Αριθμών εδώ και 78 χρόνια.

Ο 35χρονος επιστήμονας μίλησε στο ΑΠΕ-ΜΠΕ για τη δουλειά του, περιέγραψε τη διαδρομή του και τις εμπειρίες του από τα αμερικανικά πανεπιστήμια του Ιλλινόι και του Πρίνστον, για το πώς έφτασε στο Μόντρεαλ, θυμήθηκε τις σπουδές του στο Μαθηματικό του ΑΠΘ αλλά και τα εφηβικά του χρόνια στο 2ο ΓΕΛ Κοζάνης.

Μίλησε για τους δασκάλους του στην Κοζάνη και τη Θεσσαλονίκη, αλλά δεν δίστασε να μιλήσει ανοικτά και για το δημόσιο ελληνικό πανεπιστήμιο, γι’ αυτά που ο ίδιος θα επιθυμούσε να αλλάξουν την επόμενη ημέρα.
ν

Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΩΝ DUFFIN-SCHAEFFER

Η εικασία των “Duffin-Schaeffer” που διατυπώθηκε το 1941 αναφέρει τα κριτήρια που μπορούμε να θέσουμε ώστε να προσεγγίσουμε αριθμούς εάν απαγορεύσουμε κάποιους παρονομαστές.

Οι δύο μαθηματικοί εισήγαγαν επίσης μια λεπτομέρεια που λέει ότι εάν απαγορεύσουμε κάποιους παρονομαστές ακόμη και ένα αραιό υποσύνολο αυτών, μπορεί κάποιοι αριθμοί να μην προσεγγιστούν ποτέ. 

Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος λέει ότι στην εικασία των “Duffin-Schaeffer” υπάρχει μια δυικότητα ένας πολύ οξύς διαχωρισμός που δηλώνει από τη μια μεριά ότι έχεις αφήσει ένα μεγάλο περιθώριο ώστε με τους παρονομαστές που έχεις, να μπορείς να προσεγγίσεις όλους τους αριθμούς, και από την άλλη, εάν ήσουν υπερβολικά φιλόδοξος και με τους περιορισμούς που έχεις θέσει, δεν μπορείς να προσεγγίσεις κανέναν αριθμό.

«Οπότε υπάρχουν αυτοί οι δύο κόσμοι που στον ένα μπορούμε να προσεγγίσουμε σχεδόν όλους τους αριθμούς και στον άλλον σχεδόν κανένα αριθμό. Αλλά υπάρχει ένα απλό κριτήριο που αποφασίζει το πότε πέφτουμε σε κάθε περίπτωση».

Οι δύο μαθηματικοί το 1941 δημοσίευσαν ένα άρθρο στο οποίο διατύπωσαν αυτήν τους την εικασία, στη συνέχεια, εκεί γύρω στο 1990, υπήρξαν κάποια μικρά αποτελέσματα για την επίλυση της αλλά η εικασία παρέμενε άλυτη μέχρι το 2019 που αποδείχτηκε πλήρως από τον Δημήτρη Κουκουλόπουλο και τον Τζέιμς Μέιναρντ. Ο νεαρός καθηγητής δεν κρύβει τη χαρά του που κατάφερε να δώσει λύση μετά από 78 χρόνια σε ένα από τα κεντρικά προβλήματα στον τομέα της “μετρικής διοφαντικής προσέγγισης”.
ν

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Ο Δ. Κουκουλόπουλος εξηγεί ότι αυτό το πρόβλημα, ανήκει στο τομέα της θεωρίας των αριθμών και λέγεται “διοφαντική προσέγγιση” προς τιμήν του Διόφαντου της Αλεξάνδρειας που ήταν από τους κορυφαίους Έλληνες μαθηματικούς της αλεξανδρινής περιόδου και έχει να κάνει με προσεγγίσεις αριθμών από κλάσματα.

Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια, 210-290 μ.Χ. Πηγή: Wikimedia Commons

Να σημειωθεί ότι ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210-290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της Άλγεβρας» εξαιτίας του εμβληματικού έργου του “Αριθμητικά”, όπου περιέχονται αλγεβρικά προβλήματα τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού.

Σήμερα “διοφαντικές” καλούνται οι εξισώσεις ακέραιων συντελεστών των οποίων ζητούνται οι ακέραιες λύσεις.

Όπως εξηγεί ο Δ. Κουκουλόπουλος, «Οι περισσότεροι αριθμοί όπως για παράδειγμα ο αριθμός π που είναι μια μαθηματική σταθερά οριζόμενη ως ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου (π = P/δ) και είναι ίσος με 3,14159265, εμφανίζεται πάρα πολύ συχνά στα Μαθηματικά και στη Φυσική, και εάν κάποιος κάτσει και γράψει τα δεκαδικά ψηφία για να δώσει μια προσέγγιση αυτού του αριθμού θα διαπιστώσει ότι δεν τελειώνουν ποτέ.

»Οι άνθρωποι δεν μπορούν αλλά ούτε και οι υπολογιστές μπορούν να δουλέψουν με τόσο πολύπλοκους αριθμούς και όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις θέλουμε πιο απλές προσεγγίσεις. Εάν γράψω τα δεκαδικά ψηφία του π και σταματήσω στο 3,14 μου δίνεται μια προσέγγιση του αριθμού με ενα σφάλμα. Αυτόν το αριθμό μπορώ να τον γράψω 3141/1000 που είναι κλάσμα που προσεγγίζει το π, αλλά στην πραγματικότητα από τους αρχαίους Έλληνες ξέραμε επίσης ότι μια πολύ καλή προσέγγιση του π που χρησιμοποιεί πολύ μικρότερους αριθμούς είναι το κλάσμα (22/7) που χρησιμοποιεί πολύ μικρότερο παρονομαστή.

»Ο παρονομαστής του είναι μόνο 7 ενώ ο παρονομαστής του άλλου κλάσματος είναι 1000. Το δεύτερο κλάσμα έχει πολύ μικρότερη πολυπλοκότητα. Και το ερώτημα είναι εάν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παρονομαστές μέχρι του φράγματος του 1 εκατομμυρίου πόσο καλή προσέγγιση μπορούμε να έχουμε σε έναν αριθμό; Σε τέτοιου είδους μεγάλα ερωτήματα η “διοφαντική προσέγγιση” θέλει μ’ ένα απλό κλάσμα να βρει απλές προσεγγίσεις αριθμών».
ν

Το εξώφυλλο της έκδοσης των “Αριθμητικών” του Διόφαντου το 1621, σε λατινική μετάφραση του Κλοντ ντε Μεζιριάκ. Πηγή: Wikimedia Commons
ν

Άραγε η απόδειξη της Εικασίας σημαίνει κάτι σε σχέση με τις άλλες επιστήμες ή κάποιου είδους εφαρμογή στην ζωή;

Γελάει εντελώς αυθόρμητα ακούγοντας την ερώτηση λέγοντας ότι «ετέθη προς συζήτηση το αιώνιο ερώτημα» και προσθέτει ότι δεν μπορεί να φανταστεί πώς θα μπορούσε να εφαρμοστεί συγκεκριμένα αυτό καθαυτό αυτό το θεώρημα γιατί εκτός των άλλων είναι κι ένα μετρικό θεώρημα.

«Δεν ξέρω εάν θα υπάρξει κάποια συγκεκριμένη εφαρμογή. Στα θεωρητικά μαθηματικά θα ήταν ωραίο να βλέπεις τη δουλειά σου να εφαρμόζεται στην πραγματική ζωή αλλά η φύση των θεωρητικών μαθηματικών είναι τέτοια, που η εφαρμογή των ιδεών μπορεί να πάρει πολλά χρόνια μέχρι να γίνει κάτι ή να υπάρξει έστω μια έμμεση συμβολή».

Προσθέτει ότι στα θεωρητικά μαθηματικά όπως και στις πιο πολλές θεωρητικές επιστήμες, δουλεύεις εντατικά ακόμη και για ολόκληρη τη ζωή σου, να καταλάβεις και να λύσεις ένα ερώτημα χωρίς απαραίτητα να γνωρίζεις εάν αυτό θα έχει προεκτάσεις στον πραγματικό κόσμο.

Παρ’ όλα αυτά, επισημαίνει ότι η χρηματοδότηση της έρευνας στα θεωρητικά μαθηματικά είναι θεμελιώδης γιατί με τρόπους που δεν μπορούμε να καταλάβουμε επηρεάζει και την έρευνα στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, στη Μηχανική και στην Φυσική.

Προς επίρρωση των όσων προηγούμενα ανέφερε, πρόσθεσε μιλώντας στο ΑΠΕ-ΜΠΕ μια διδακτική περιγραφή από την ιστορία ενός διάσημου Βρετανού μαθηματικού τού Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι, γνωστού για τη συμβολή του στη θεωρία αριθμών και την ανάλυση, αλλά και για το δοκίμιο “Η Απολογία ενός Μαθηματικού”, ο οποίος σημείωνε ότι «τον ικανοποιεί που εργάζεται σ’ έναν κλάδο ο οποίος δεν έχει καμία εφαρμογή στην πραγματική ζωή γιατί δεν θέλω η δουλειά μου να χρησιμοποιείται στον πόλεμο».

Δυστυχώς όμως ‒σημειώνει ο κ. Κουκουλόπουλος‒ αυτό που έλεγε ο διάσημος μαθηματικός διαψεύστηκε τελείως γιατί μετά από αρκετά χρόνια όταν αναπτύχθηκε η πληροφορική και οι επικοινωνίες υπήρξε πολύ μεγάλη ανάγκη να γίνει ασφαλής μετάδοση σημάτων. Και κρυπτογράφηση του σήματος γίνεται πολλές φορές χρησιμοποιώντας ιδέες από τη θεωρία των αριθμών.

«Γι’ αυτό σας λέω ότι είναι δύσκολο να προβλέψεις πού μπορεί να πάει ένα επίτευγμά σου και ο Χάρντι ήταν λάθος, διαψεύστηκε ως προς αυτό και σήμερα εάν ζούσε μπορεί να απογοητευόταν πάρα πολύ με την εξέλιξη».
ν

Oxford Mathematics Public Lectures: James Maynard – Prime Time
ν

ν

Β΄ Μέρος: Οι σπουδές στην Ελλάδα και η διαδρομή σε ΗΠΑ-Καναδά >
ν

1 2